Matematika a její aplikace

Charakteristika vyučovacího předmětu
Obsahové vymezení předmětu
Vyučovací předmět se jmenuje matematika. Patří do vzdělávací oblasti“Matematika a její aplikace.“ Vzdělávací oblast je současně vzdělávacím oborem. 
Výuka matematiky na gymnáziu rozvíjí a prohlubuje způsob matematického myšlení, tvorbu hypotéz a úvah. Umožňuje žákům pochopit vztahy v reálném světě. Tyto osvojené vztahy a procesy napomáhají žákům proniknout do podstaty oboru a spojovat tematické okruhy.
Žáci studiem předmětu zjišťují uplatnění matematiky v mnoha oborech lidské činnosti (ekonomie, technické obory, sociologie, bankovnictví atd.). Dále si uvědomují, že matematika je úzce spjata s ostatními předměty (fyzika - převody jednotek, výpočet neznámé ze vzorce, zeměpis - měřítko map, chemie - řešení rovnic, trojčlenka, převody jednotek). Žáci poznávají, že matematika má nezastupitelné místo v naší kultuře, a během studia si uvědomují, že nachází uplatnění v mnoha oborech lidské činnosti.

Časové a organizační vymezení předmětu
Osmileté studium
Výuka probíhá osm let, od primy do oktávy. Hodinová dotace v ročnících je 5-4-4-4-3,5-4-4-3. V primě, sekundě a kvintě je jedna hodina půlena. Čtyřleté gymnázium se řídí podle ŠVP odpovídajících ročníků osmiletého gymnázia.

Vyučovací předmět matematika je zpravidla vyučován v matematické učebně, dle aktuální potřeby může být využita počítačová učebna.
Během studia jsou žákům nabízeny následující aktivity mimo vyučovací hodiny:
-	Matematická olympiáda (zájemci ze všech ročníků)
-	Matematický klokan (všichni žáci niž. roč. a zájemci vyš. roč. )
-	Pythagoriáda (1. a 2. roč. NG)

Cílové zaměření vzdělávací oblasti
Vzdělávání v matematice vede žáka k:
-	rozvoji logického myšlení a kritického úsudku, vytváření hypotéz a jejich ověřování nebo vyvracení   
-	osvojování základních mat. pojmů a mat. postupů
-	zdůvodňování zvolených mat. postupů a obhajobě vlastních postupů
-	rozboru problémů, volbě správného postupu při jeho řešení, vyhodnocování a ověřování správného výsledku vzhledem k zadanému problému
-	pochopení mat. termínů a symboliky
-	pochopení vzájemné propojenosti mezi jednotlivými tematickými okruhy učiva
-	aplikaci mat. poznatků v dalších vzdělávacích oblastech
-	užití matematiky v reálných situacích
-	užívání kalkulátorů a moderní techniky k efektivnímu řešení úloh         a prezentaci výsledků

Do předmětu matematika jsou integrována tato průřezová témata:
Pro nižší gymnázium
•	Osobnostní a sociální výchova 
1.	Osobnostní rozvoj 	- Rozvoj schopností poznání
2.	Sociální rozvoj 	- Komunikace
- Kooperace a kompetence
3.	Morální rozvoj 	- Řešení problémů a rozhodovací dovednosti

Pro vyšší gymnázium
•	Osobnostní a sociální výchova
1.	Poznávání a rozvoj vlastní osobnosti
2.	Seberegulace, organizační dovednosti a efektivní řešení problémů
3.	Sociální komunikace
4.	Spolupráce a soutěž
•	Mediální výchova
1.	Mediální produkty a jejich významy

Výchovné a vzdělávací strategie
Kompetence k učení
Učitel
•	vede žáky k osvojování matematických pojmů a vztahů postupnou abstrakcí a zobecňováním
•	zařazuje do vyučování různé metody výuky (rozhovor, diskuze), při kterých žáci docházejí k řešení úloh a jejich závěrům sami
•	zadává úlohy, při kterých mohou žáci vhodně využívat informačních a komunikačních technologií
•	rozebírá příčinu vzniku chyby při řešené úloze a učí žáky pracovat s chybou jako pozitivním prvkem - žáci se sami snaží chybu opravit
•	vhodně zadává domácí úkoly, které následně zhodnotí
•	vede žáky zadáváním vhodných úloh k využití matematických dovedností v reálném životě

Kompetence k řešení problémů
Učitel
•	vhodně zařazenými problémovými úlohami vytváří takové situace, které přinutí žáky o problému přemýšlet, zvolit správný postup řešení, odhadnout výsledek a ověřit správnost výsledku vzhledem k zadání
•	při řešení problémů postupně přechází od jednoduššího problému ke složitějšímu
•	vhodným nastavením problému podporuje u žáků různé postupy řešení
•	individuálním přístupem zapojí v každé vyučovací hodině všechny žáky
•	současně zadává slovní úlohy různé obtížnosti, podle individuálních schopností žáků

Kompetence komunikativní
Učitel
•	využívá i nefrontálních metod výuky žáků (individuální, ve dvojicích, skupinovou), žáci následně svoji práci obhajují
•	dbá na čtení slovní úlohy s porozuměním, jeho matematizací, interpretací výsledku a zkoušky řešení
•	motivuje žáky k vyhledávání matematických informací, k četbě odborných textů, následné prezentaci před spolužáky
•	při prezentaci dbá na spisovné a věcné vyjadřování
•	dbá na používání odborné matematické terminologie
•	zařazováním prací v týmu podporuje velice účinnou komunikaci mezi žáky, vzájemně o problému diskutují a spolupracují při jeho řešení

Kompetence sociální a personální
Učitel
•	navozuje příjemnou atmosféru při práci v týmu, ve kterém je žák schopen uplatnit své individuální schopnosti, vědomosti a dovednosti
•	učí žáky toleranci k jiným, byť někdy nesprávným názorům
•	vybízí žáky k vytváření mezilidských vztahů, vzájemné úctě a toleranci
•	ve vhodných tematických celcích zařazuje úlohy, týkající se životního prostředí a vlastního zdraví

Kompetence občanské
Učitel
•	motivuje žáky k zodpovědnému a tvořivému přístupu při plnění jejich povinností a úkolů
•	zadané úkoly důsledně kontroluje, a tím vede žáky k jejich plnění
•	povzbuzováním a vhodnou motivací podporuje u žáků snahu zlepšit se
•	podporuje vhodnou vzájemnou pomoc žáků při řešení úloh (formování volních charakterových vlastností)

MATEMATIKA: I/8				

•	čte, zapisuje a porovnává desetinná čísla
•	zpaměti i písemně provádí operace v oboru přirozených čísel
•	modeluje a řeší situace s využitím přirozených čísel
•	počítá číselné výrazy se závorkami
•	zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností
•	provádí kontrolu výpočtů
•	zobrazí přirozené číslo na číselné ose    	PŘIROZENÁ ČÍSLA

Opakování a rozšíření učiva ze ZŠ
•	přirozená čísla
•	čtení a zápis čísla v desítkové soustavě
•	zobrazení na číselné ose
•	početní operace v oboru přirozených čísel 
•	číselné výrazy			

•	rozlišuje prvočíslo a číslo složené
•	určuje soudělná a nesoudělná čísla
•	rozkládá číslo na prvočinitele, využívá znaky dělitelnosti
•	určuje nejmenší společný násobek a největší společný dělitel
•	řeší slovní úlohy využívající dělitelnost	DĚLITELNOST PŘIROZENÝCH
ČÍSEL

•	prvočíslo,číslo složené
•	násobek, dělitel
•	nejmenší společný násobek, největší společný dělitel
•	kritéria dělitelnosti			

•	pojmenuje, graficky znázorní a správně použije, geometrické pojmy
•	zapíše pomocí matematické symboliky polohové a metrické vztahy mezi rovinnými útvary
•	charakterizuje a třídí základní rovinné útvary
•	zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů
•	určuje velikost úhlu, měřením a výpočtem rozlišuje druhy úhlů, využívá vlastností dvojic úhlů
•	vysvětlí pojem pravidelný mnohoúhelník
•	vypočítá obvod trojúhelníku, čtverce a obdélníku	GEOMETRICKÉ ÚTVARY V ROVINĚ

•	rovina, bod, křivka, úsečka a její délka, bod a střed úsečky
•	přímka, polopřímka, vzájemná poloha přímek, vzdálenost bodu od přímky
•	kružnice, kruh
•	úhel a jeho velikost
•	druhy úhlů, jednotky úhlů/stupně/
•	osa úhlu, početní operace velikostmi úhlů
•	dvojice úhlů, dvojice přímek
•	pravidelné mnohoúhelníky
•	obvody trojúhelníku, čtverce a obdélníku

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Řešení problémů a rozhodovací dovednosti

MPV  F: fyz.veličina - délka

Slovní úlohy na výpočty obvodů příslušných geom. útvarů  v rovině při řešení různých reálných situací.

•	načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti
•	pozná shodné útvary, osově a středově souměrné	OSOVÁ A STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST

•	osová souměrnost
•	středová souměrnost
•	shodné útvary
•	osově a středově souměrné útvary		

	

•	čte, zapíše a zobrazí desetinná čísla na číselné ose
•	provádí zaokrouhlování čísel na požadovaný řád
•	provádí početní operace s des. čísly
•	převádí jednotky
•	vypočítá aritmetický průměr
•	provádí odhady s danou přesností
•	účelně využívá kalkulátor	DESETINNÁ ČÍSLA

•	rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě
•	porovnávání, zaokrouhlování
•	zobrazení na číselné ose
•	početní operace
•	odhady
•	aritmetický průměr
•	převody jednotek
•	práce s kalkulátorem

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Řešení problémů a rozhodovací dovednosti

.

MPV  F: řešení numerických úloh	

Slovní úlohy s výpočtem aritm. průměru.
Provádění odhadů, vhodné zaokrouhlování, diskuze na závěr	

•	popisuje základní části a vlastnosti daných těles	TĚLESA

•	hranoly, krychle, kvádr
•	válec, jehlan, kužel

•	rozlišuje kladná a záporná čísla
•	zobrazuje kladná a záporná čísla na vodorovné i svislé číselné ose
•	vysvětlí pojem opačné číslo
•	provádí početní operace s celými čísly	CELÁ ČÍSLA

•	čísla kladná, nula, čísla záporná
•	čísla navzájem opačná
•	uspořádání, porovnávání a zobrazení celých čísel na číselné ose
•	operace s celými čísly a číselnými výrazy			

•	užívá věty o shodnosti trojúhelníků
•	sestrojuje trojúhelník z daných prvků
•	dbá na kvalitu a přesnost rýsování
•	odhaduje a vypočítá obvod a obsah trojúhelníku	TROJÚHELNÍK

•	shodnost trojúhelníků
•	užití vět o shodnosti trojúhelníků /sss, sus, usu,Ssu /
•	konstrukce trojúhelníků
•	obvod a obsah trojúhelníku

o	konstrukce trojúhelník	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Kreativita		

•	třídí a popisuje čtyřúhelníky a rovnoběžníky
•	načrtne a sestrojí čtyřúhelník pomocí zadaných prvků
•	diskutuje různé způsoby řešení konstrukčních úloh
•	používá symbolický jazyk matematiky k zápisu konstrukce
•	odhaduje a vypočítává obvod a obsah rovnoběžníku a lichoběžníku
•	při konstrukci rovnoběžníku využívá středové souměrnosti
•	analyzuje a řeší aplikační slovní úlohy s využitím osvojeného matemat. aparátu	ČTYŘÚHELNÍKY

•	obecný čtyřúhelník
•	vlastnosti rovnoběžníků, úhlopříčky
•	kosočtverec, kosodélník
•	lichoběžník, jeho vlastnosti
•	deltoid
•	obvod a obsah rovnoběžníku, lichoběžníku a mnohoúhelníku
•	konstrukce rovnoběžníku a lichoběžníku
•	slovní úlohy

•	třídí a popisuje trojúhelníky
•	používá terminologii pro popis rovnostranných, rovnoramenných, pravoúhlých trojúhelníků a jejich vlastností
•	pojmenuje a zkonstruuje základní pojmy v trojúhelníku: strana, vrchol, vnit.a vněj. úhly, výška těžnice, stř. příčka
•	konstruuje kružnici trojúhelníku opsanou a vepsanou
•	řeší jednoduché konstrukce trojúhelníku
	TROJÚHELNÍK

•	pojem, druhy, trojúhelníková nerovnost
•	vnější a vnitřní úhly trojúhelníku
•	výšky, těžnice, střední příčky
•	kružnice trojúhelníku opsaná a vepsaná
•	základní konstrukce trojúhelníku	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Řešení problémů a rozhodovací dovednosti
Kooperace a kompetice

Dobrovolně zadaný úkol: Žák sám zpracuje výklad učiva na téma:Základní pojmy v trojúhelníku.	

MATEMATIKA: II/8	

•	modeluje a zapisuje zlomkem část celku
•	převádí zlomky na desetinná čísla a naopak
•	porovnává zlomky a uspořádá je dle velikosti
•	určí převrácené číslo
•	zobrazí zlomek na číselné ose
•	provádí vhodně rozšiřování a krácení zlomku
•	uvede zlomek do základního tvaru
•	upravuje složené zlomky
•	provádí početní operace v oboru racionálních čísel
•	pracuje s různými tvary racionálních čísel
•	pracuje s periodickými čísly
•	analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru racionálních čísel	RACIONÁLNÍ ČÍSLA

•	vztah mezi zlomky a desetinnými čísly
•	čtení a zápis zlomku
•	desetinný zlomek
•	zobrazení na číselné ose
•	převrácené číslo
•	smíšené číslo
•	rozšiřování a krácení zlomku
•	početní operace
•	složený zlomek
•	slovní úlohy
•	racionální čísla
•	vyjádření racionálního čísla desetinným rozvojem
•	desetinný periodický rozvoj čísla, perioda
•	operace s racionálními čísly, zlomky a desetinnými čísly

MPV  F, CH: numerické výpočty		

•	vysvětlí pojem výraz
•	určí hodnotu číselného výrazu a efektivně upravuje tyto výrazy 
•	upravuje výrazy s proměnnou a dosazuje do těchto výrazů
•	sčítá a násobí mnohočleny, dělí mnohočlen jednočlenem
•	matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných
	VÝRAZY

•	číselný výraz a jeho hodnota
•	proměnná, výraz s proměnnou
•	jednočlen, operace s jednočleny
•	mnohočlen. operace s mnohočleny			

•	řeší úlohy bez použití vzorců - přes 1%, trojčlenkou
•	užívá základní pojmy procentového počtu
•	používá pojem promile
•	provádí odhady s danou přesností
•	řeší aplikační úlohy na procenta /i v případě, že procentová část je větší než celek	PROCENTA

•	procento
•	promile
•	základ, procentová část, počet procent
•	slovní úlohy, úlohy z praxe	

•	
MPV  CH: koncentrace roztoků

MPV 	

•	určuje a charakterizuje hranoly
•	načrtne a sestrojí obraz hranolu ve volném rovnoběžném promítání
•	načrtne a narýsuje síť hranolu
•	odhaduje a vypočítá povrch a objem kolmého hranolu
•	zjišťuje potřebné údaje o hranolech v běžném životě, 
•	měří je a počítá jejich skutečné objemy a povrchy	HRANOLY

•	pojem hranol
•	zobrazení hranolu ve volném rovnoběžném promítání
•	síť hranolu
•	kolmý hranol, objem a povrch kolmého hranolu
•	čtyřboké a trojboké hranoly			

•	odhaduje a vypočítává obsah čtverce a obdélníka
•	načrtne a sestrojí sítě těles a z nich těleso vymodeluje
•	používá a převádí jednotky obsahu a objemu
•	používá vzorce pro výpočet povrchu a objemu
•	načrtne a sestrojí krychli a kvádr ve volném rovnoběžném promítání
•	analyzuje a řeší slovní úlohy s využitím osvojeného 
•	matematického aparátu	KRYCHLE A KVÁDR

•	obsah čtverce a obdélníku
•	zobrazení sítě
•	povrch krychle a kvádru
•	jednotky obsahu
•	objem krychle a kvádru
•	jednotky objemu
•	slovní úlohy
•	volné rovnoběžné promítání

.	

Řešení slovních úloh s tematikou obsahů, povrchů a objemů	

•	určuje hodnotu číselného výrazu s mocninami a odmocninami, výpočtem a pomocí kalkulátoru
•	užívá mocninu a odmocninu/druhou a třetí / ve výpočtech
•	intuitivně chápe pojem iracionální číslo
	DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA
TŘETÍ MOCNINA A ODMOCNINA

•	druhá a třetí mocnina
•	určování druhé a třetí mocniny a odmocniny pomocí kalkulátoru
•	druhá a třetí odmocnina a její určování pomocí kalkulátoru
•	pojem reálného čísla

 	

MPV  F: zápis jednotek		

•	rozlišuje pojmy odvěsna a přepona
•	používá Pythagorovu větu i větu k ní obrácenou
•	řeší aplikační úlohy, i úlohy ze stereometrie /délky 
•	tělesových úhlopříček krychle a kvádru/
•	pracuje s výsledky i ve tvaru iracionálního čísla/výsledek nevyčísluje, ale částečně odmocňuje
•	zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností
•	účelně využívá kalkulátoru
•		PYTHAGOROVA VĚTA

•	Pythagorova věta a věta k ní obrácená
•	výpočet délek stran v pravoúhlém trojúhelníku
•	užití Pythagorovy věty v planimetrii, ve stereometrii a v praxi

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Řešení problémů a rozhodovací dovednosti

Slovní úlohy v praxi.	

•	rozlišuje pojmy rovnost, rovnice, nerovnost, nerovnice
•	logicky provádí ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic
•	vysvětlí význam zkoušky a provádí zkoušku při řešení rovnice
•	ověřuje správnost řešení nerovnice
•	řeší slovní úlohy pomocí lineárních rovnic
•	zdůvodní zvolený postup řešení, nalézá různá řešení
•	užívá logickou úvahu a kombinační úsudek
•	vyřeší daný problém aplikací získaných matematických poznatků a dovedností	LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE

o	rovnost
o	lineární rovnice
o	ekvivalentní úpravy, zkouška
o	slovní úlohy řešené rovnicemi
o	úlohy o pohybu
o	nerovnost
o	ostré, neostré nerovnosti, intervaly
o	ekvivalentní úpravy
o	zápis řešení nerovnic intervalem, množinou řešení, graficky na číselné ose
o	výpočet neznámé ze vzorce	

MPV  F: řešení úloh o pohybu	 	

MATEMATIKA: III/8

•	provede zápis mocniny s přirozeným a celým mocnitelem
•	provádí početní operace s mocninami oboru reálných čísel
•	zapíše číslo ve tvaru a. 10n pro 1 <a<10	MOCNINY S PŘIROZENÝM A CELÝM MOCNITELEM

•	čtení a zápis mocnin s přirozeným mocnitelem
•	početní operace s mocninami s přirozeným mocnitelem
•	mocnitel nula
•	mocniny s celým mocnitelem
•	zápis čísla pomocí mocnin deseti			

•	určí vzájemnou polohu přímky a kružnice
•	určí vzájemnou polohu kružnic
•	využívá střednou
•	konstruuje tečnu z vnějšího bodu kružnice
•	konstruuje tětivu
•	používá vztahy pro obvod kružnice a obsah kruhu a vztahy od nich odvozené
•	řeší komplexní úlohy na výpočet délky oblouku a části kruhu
•	ve vhodných příkladech udává výsledky jako násobky čísla 
•	účelně využívá kalkulátor	KRUŽNICE A KRUH

•	kružnice, kruh
•	vzájemná poloha přímky a kružnice
•	vzájemná poloha kružnic
•	tečna, tětiva
•	Thaletova kružnice
•	obvod kruhu, délka oblouku
•	obsah kruhu, části kruhu
•	číslo 	

•	charakterizuje válec
•	konstruuje síť válce
•	vypočítá povrch a objem válce
•	analyzuje a řeší aplikační slovní úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu	VÁLEC

•	pojem válec
•	plášť válce, podstavy
•	síť válce
•	objem a povrch válce	

.

Slovní úlohy na povrch a objem válce	

•	vyjadřuje poměr mezi danými hodnotami
•	upravuje poměr krácením a rozšiřováním
•	početně dělí celek v daném poměru na části
•	úsečku dělí v poměru i graficky
•	pracuje s měřítky map a plánů
•	interpretuje údaje z diagramů
•	vyjadřuje vztah přímé a nepřímé úměrnosti - 
tabulka, graf, funkční předpis
•	používá trojčlenku při výpočtu slovních úloh	ÚMĚRNOSTI

o	poměr, převrácený poměr
o	krácení a rozšiřování poměru
o	zvětšování a zmenšování v daném poměru
o	rozdělení dané hodnoty v určitém poměru
o	úměra
o	postupný poměr
o	závislost veličin
o	měřítko plánů a map
o	diagramy
o	přímá a nepřímá úměrnost
o	trojčlenka, slovní úlohy
o	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Kooperace a kompetice

MPV  Z: měřítko mapy
 CH: výpočty pomocí trojčlenky	

Slovní úlohy na využití trojčlenky v různých oblastech lidské činnosti

Slovní úlohy na využití trojčlenky v různých oblastech lidské činnosti	

•	provádí jednoduché konstrukce
•	aplikuje pojem množiny všech bodů dané vlastnosti
•	řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy ve všech částech
•	konstruuje trojúhelník a čtyřúhelník s využitím osvojeného matematického aparátu
•	pomocí posunutí řeší jednoduché geometrické konstrukce	KONSTRUKČNÍ ÚLOHY

o	jednoduché základní konstrukce
o	množiny všech bodů dané vlastnosti
o	/osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice, …/
o	konstrukce útvarů daných vlastností
o	rozbor úlohy, zápis konstrukce, konstrukce, důkaz, diskuze
o	posunutí	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Kreativita		

•	používá základní pojmy finanční matematiky
•	formuluje a řeší reálnou situaci pomocí jednoduchého úrokování
•	při výpočtech vhodně používá ekonomických pojmů
•	řeší úlohy z praxe pomocí základních pojmů/ úrok, úrokovací doba, úrokovací období, úroková míra, daň z úroků /
•	seznámí se s měnou některých dalších států	ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY

o	základní pojmy finanční matematiky
o	úrok, úrokovací období
o	úroková míra, daň z úroků
o	jednoduché úrokování
o	slovní úlohy z praxe
o	cz měna, cizí měna euro	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Kooperace a kompetice

.MPV  základy finanční                            gramotnosti

Zpracování úlohy s tematikou bankovnictví nebo spoření/ výhodná půjčka, hypotéka, spoření,../
Práce zadána formou soutěže	

•	samostatně dělí mnohočlenem
•	aplikuje vzorce a vytýkání při rozkladu na součin

	VÝRAZY

o	základní operace s mnohočleny
o	umocňování mnohočlenů
o	rozklad na součin
o	vzorce pro druhou mocninu

		

•	určuje podmínky, pro něž má lomený výraz smysl
•	efektivně najde nejmenší společný násobek a využívá ho při sčítání a odčítání lomených výrazů
•	účelně používá odvozené vztahy při zjednodušování lomených výrazů	LOMENÉ VÝRAZY

o	zavedení lomeného výrazu
o	definiční obor
o	krácení a rozšiřování lomených výrazů
o	početní operace s lomenými výrazy
o	složené lomené výrazy a jejich úpravy

MATEMATIKA: IV/8

		

•	používá zápis goniometrických funkcí
•	určí na kalkulátoru hodnoty trigonometrických funkcí a velikosti ostrých úhlů s přesností na minuty
•	modeluje a řeší situace v pravoúhlém trojúhelníku s využitím znalostí goniometrických funkcí	GONIOMETRICKÉ FUNKCE V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU

o	funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens
o	vztahy mezi funkcemi
o	práce s kalkulátorem
o	řešení úloh o trojúhelníku
o	řešení úloh z praxe	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Řešení problémů a rozhodovací dovednosti

Řešení úloh z praxe.	

•	rozezná funkční vztah od jiných vztahů
•	zakreslí bod v pravoúhlé soustavě souřadnic
•	sestrojí graf lineární funkce, nepřímé úměrnosti a absolutní hodnoty
•	účelně používá tabulku
•	určí souřadnice průsečíků grafů funkcí s osami x , y 	FUNKCE

o	funkce jako přiřazení
o	pravoúhlá soustava souřadnic
o	zadání tabulkou, grafem, předpisem
o	definiční obor, obor hodnot
o	lineární funkce
o	přímá a nepřímá úměrnost
o	absolutní hodnota
o	kvadratická funkce	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Komunikace	

Čtení z grafů z novin a časopisů	

•	řeší soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
•	vhodně používá metodu sčítací a dosazovací
•	provádí diskuzi o počtu řešení
•	řeší slovní úlohy pomocí soustav lineárních rovnic
•	formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav	ROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

o	rovnice s neznámou ve jmenovateli
o	kvadratické rovnice
o	úlohy o společné práci, o směsích
o	lineární rovnice se dvěma neznámými
o	metoda sčítací a dosazovací
o	diskuze řešitelnosti
o	slovní úlohy			

•	rozlišuje shodné a podobné útvary
•	používá koeficient podobnosti
•	dělí úsečku na části v daném poměru
•	používá věty o podobnosti trojúhelníků v početních a konstrukčních úlohách	PODOBNOST

o	koeficient podobnosti
o	podobnost geometrických útvarů
o	grafické dělení úsečky
o	podobnost trojúhelníků, věty o podobnosti trojúhelníků
o	/sss, uu, sus /
o	užití podobnosti v praxi

•	charakterizuje jednotlivá tělesa
•	provádí výpočty objemů a povrchů jehlanu, kužele a koule
•	používá náčrtek těles a jejich sítí pro přesnější výpočty
•	užívá vzorce pro objem a povrch a využívá trigonometrických funkcí v praktických úlohách	JEHLAN, KUŽEL, KOULE

o	vzájemná poloha přímky a roviny, jejich vzdálenosti a odchylky
o	objem a povrch jehlanu, kužele, komolého jehlanu, komolého kužele a koule
o	síť jehlanu a kužele
o	slovní úlohy	

.	

Slovní úlohy na objemy a povrchy v praxi	

•	rozezná funkční vztah od jiných vztahů
•	zaznamená výsledky jednoduchých statistických šetření do tabulky
•	vyhledá a vyhodnotí jednoduchá statistická data 
•	na vyhodnocení souboru dat používá tabulky, grafy a diagramy	ZÁKLADY STATISTIKY

o	statistické šetření, jednotka, soubor
o	četnost a relativní četnost
o	aritmetický průměr, modus, medián
o	grafy a diagramy	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Komunikace
Kooperace a kompetice

Provedení a zpracování konkrétního statistického šetření a prezentace před spolužáky.	

MATEMATIKA: V/8 + I/4

•	čte a zapisuje množinové pojmy /množina , podmnožina, doplněk, průnik, sjednocení /
•	užívá správně logické spojky a kvantifikátory /konjunkce, disjunkce / , neguje výroky
•	vysvětlí rozdíl mezi definicí a větou , objasní logickou výstavbu:definice, věta, důkaz
•	rozliší správný a nesprávný úsudek
•	vytváří hypotézy a zdůvodňuje jejich pravdivost a nepravdivost
•	určuje správně prvočísla, rozkládá přirozená čísla na součin mocnin prvočísel, využívá poznatků z dělitelnosti k řešení úloh, využívá kriteria  dělitelnosti čísel
•	operuje s intervaly, aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty
•	aplikuje pravidla o počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem, s celým a racionálním mocnitelem
•	operace s odmocninami provádí rovněž jako operace mocnin s racionálním exponentem
•	k výpočtu složitých numerických úloh užívá účelně kalkulátor
•	ovládá operace s lomenými výrazy, efektivně upravuje lomené výrazy
•	vhodně používá vzorce  a vytýkání na rozklad mnohočlenů
•	určuje definiční obor výrazu

	

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY
•	množinové operace
•	obecný a existenční kvantifikátor/
•	výroková logika /výrok, negace výroků /
•	definice, věta, důkaz
•	číselné obory /základní operace,  vlastnosti rovnosti a nerovnosti , násobek a dělitel, prvočíslo a číslo složené, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek, znaky dělitelnosti, základní věta aritmetiky, absolutní hodnota, intervaly/
•	mocniny / mocnina s  přirozeným, celým, a racionálním exponentem, pravidla pro počítání s mocninami, druhá a třetí odmocnina ,početní operace s odmocninami, práce s kalkulátorem, odhady a zaokrouhlování výsledků /
•	výrazy s proměnnými /mnohočleny a operace s nimi , lomené výrazy a výrazy s odmocninou, definiční obor výrazu, vzorce pro druhou a třetí mocninu součtu a rozdílu dvou čísel,rozkladové vzorce /

MPV  F, CH: definice
 F: aplikace mocnin		

•	řeší náročnější lineární rovnice , určí případy neřešitelnosti nebo nekonečně mnoho řešení
•	provádí zkoušku řešení rovnice
•	řeší soustavy rovnic
•	řeší lineární nerovnice a jejich soustavu

	ROVNICE A NEROVNICE

•	lineární rovnice /s absolutní hodnotou , s neznámou pod odmocninou a ve jmenovateli , soustavy lineárních rovnic se dvěma a třemi neznámými , grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic , zkouška řešení rovnice a diskuze o řešitelnosti rovnic a soustav /
•	lineární nerovnice /soustavy , s absolutní hodnotou /
•	rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Seberegulace, organizační dovednosti a efektivní řešení problémů

MPV  F, CH: řešení úloh, vyjadřování neznámé ze vzorce	

Vzájemné opravy testů s tematikou rovnic a nerovnic

Pomoc s vysvětlováním,spolupráce	
•	řeší obecnou kvadratickou rovnici, v závislosti na diskriminantu určí počet řešení
•	využívá vztahy mezi kořeny a koeficienty k rozkladu kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů
•	řeší kvadratické nerovnice
•	graficky znázorňuje řešení rovnic, nerovnic, a jejich soustav
•	řeší soustavy lineární a kvadratické rovnice
•	analyzuje a řeší slovní úlohy, v nichž aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav	•	kvadratické rovnice /ryze kvad. rovnice , kvad. rovnice bez absolutního členu,diskriminant , rozklad kvadratického trojčlenu , vztahy mezi kořeny a koeficienty kvad. rovnice , kvadratické nerovnice, geometrická interpretace , ověření řešení nerovnice /
•	slovní úlohy řešené pomocí rovnic a nerovnic
	
	Řešení slovních úloh s využitím kvad. a lineárních rovnic.	

MATEMATIKA: VI/8 + II/4

		

•	používá geometrické pojmy a symboliku
•	zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině /přímka, polopřímka, úsečka, úhel, polorovina, kružnice, kruh, mnohoúhelníky/
•	na základě vlastností jednotlivých geometrických útvarů tyto třídí /trojúhelníky, čtyřúhelníky, mnohoúhelníky/
•	určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů /bodů a přímek, dvou přímek, kružnice a přímky, dvou kružnic /
•	určuje vzdálenosti a odchylky lineárních útvarů
•	využívá náčrt při řešení rovinného problému
•	
•	v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku,úpravy výrazů a pracuje s proměnnými a iracionálními čísly
•	 řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti /konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků, kružnic /
•	řeší konstrukční úlohy pomocí shodných zobrazení a pomocí konstrukce na základě výpočtu
•	řeší geometrické problémy v rovině motivované praxí	PLANIMETRIE

•	rovinné útvary
•	klasifikace rovinných útvarů /přímka, polopřímka , úsečka , vzájemná poloha přímek , polorovina , úhel , dvojice úhlů , odchylka dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky , vzdálenost rovnoběžek /
•	trojúhelník /významné prvky a vztahy v trojúhelníku , shodnost a podobnost trojúhelníků, Pythagorova věta , Euklidovy věty/
•	mnohoúhelníky  
•	rovnoběžník , čtyřúhelník , lichoběžník , pravidelný mnohoúhelník , konvexní útvary
•	kružnice , kruh
•	úhly v kružnici , části kružnice a kruhu , vzájemná poloha přímky a kružnice , dvou kružnic
•	obvody a obsahy rovinných útvarů
•	konstrukční úlohy
•	množiny bodů dané vlastnosti
•	konstrukce trojúhelníků , čtyřúhelníků , kružnic
•	shodná zobrazení, osová a středová souměrnost , posunutí , otočení , stejnolehlost , 
•	konstrukční úlohy	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Poznávání a rozvoj vlastní osobnosti

MPV -EV výtvarná	

Slovní úlohy na výpočty obvodů a obsahů, motivované praxí	

•	ovládá pojem funkce,určí definiční obor a obor hodnot
•	načrtne grafy požadovaných funkcí zadaných tabulkou nebo předpisem
•	ze zadaného grafu nebo tabulky zjistí funkční předpis
•	formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí 
•	využívá grafů lineárních a kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic a soustav lineárních rovnic
•	využívá grafů funkcí s absolutní hodnotou při řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou
•	využívá grafů při určování kvantitativních vztahů
•	provádí operace s mocninami a odmocninami ve vztahu k mocninným funkcím
•	vysvětlí význam pojmu logaritmus, používá pravidla pro počítání s logaritmy
•	řeší exponenciální a logaritmické rovnice
•	aplikuje vztahy mezi exponenciálními a logaritmickými funkcemi
•	řeší jednoduché aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, vyhledává problémy ze svého okolí a z funkčního hlediska je interpretuje
•	účelně čte z grafů funkce	FUNKCE

•	pojem funkce, definiční obor, obor hodnot,  graf funkce
•	lineární funkce,funkce s absolutní hodnotou, kvadratická funkce, lineární lomená funkce
•	vlastnosti funkcí /monotónní, prostá, omezená, sudá a lichá, maximum a minimum, periodicita funkce
•	mocninné funkce s přirozeným a celým mocnitelem, inverzní funkce,funkce druhá odmocnina
•	exponenciální a logaritmické funkce /logaritmus, věty o logaritmech, logaritmy o různých základech, přirozený logaritmus, jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice 
•	grafy funkcí	

PT: Mediální výchova
TO: Mediální produkty a jejich významy

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Sociální komunikace

MPV  F: grafy, závislost fyzikálních veličin	

Vyhledávání problémů z běžné praxe v médiích.čtení z grafů. 

•	načrtne grafy goniometrických funkcí,zadaných předpisem, čte z grafů funkcí
•	určí vlastnosti funkcí,definiční obor a obor hodnot
•	využívá poznatky o funkcích při řešení goniometrických rovnic
•	efektivně upravuje jednoduché goniometrické výrazy s využitím goniometrických vzorců
•	při řešení trigonometrických úloh využívá Pythagorovu větu, Euklidovy věty, větu sinovou a kosinovou
•	řeší jednoduché planimetrické úlohy s využitím trigonometrie
	GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

•	goniometrické funkce /funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens /, vztahy mezi goniometrickými funkcemi
•	definiční obor, obor hodnot, grafy funkcí
•	goniometrické rovnice
•	goniometrické vzorce /součtové vzorce, vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument/
•	úpravy goniometrických výrazů
•	sinová a kosinová věta
•	řešení pravoúhlého a obec.trojúhelníku,
•	aplikace ve slovních úlohách	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Seberegulace, organizační
dovednosti a efektivní řešení
problémů 

MPV  F: kmitání a vlnění fyzikálních veličin	

Slovní úlohy
z běžné praxe

	

MATEMATIKA: VII/8 + III/4

		

•	používá geometrické pojmy, vysvětluje vlastnosti geometrických útvarů v prostoru
•	řeší prostorové problémy základních těles a využívá náčrtu
•	sestrojí a zobrazí jednoduchý rovinný řez hranolu a jehlanu
•	určuje vzájemnou polohu přímek a rovin u jednoduchých stereometrických úloh
•	u jednoduchých úloh určuje odchylky
•	řeší stereometrické problémy motivované praxí
•	řeší úlohy na objem a povrch těles
•	v úlohách početní stereometrie aplikuje funkční vztahy,trigonometrii úpravy výrazů,pracuje s proměnnými a iracionálními čísly
•	při řešení problému využívá volné rovnoběžné promítání	STEREOMETRIE 

•	pravidla volného rovnoběžného promítání - prohloubení poznatků ze ZŠ
•	základní pojmy / bod, přímka , rovina /
•	základní tělesa -hranol, jehlan
•	polohové vlastnosti
•	metrické vlastnosti

•	povrchy a objemy těles
•	hranol, válec, jehlan, kužel, komolý jehlan, komolý kužel, koule a její části
•	aplikační úlohy	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Spolupráce a soutěž

MPV  VV: prostorové vidění, 	

Slovní úlohy na objemy a povrchy těles.
Práce ve skupinách při zhotovování skládacích modelů těles pomocí jejich sítí.

•	řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem /charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet /
•	upravuje efektivně výrazy s faktoriály
•	řeší jednoduché kombinatorické úlohy
•	řeší úlohy na variace, permutace a kombinace bez opakování
•	upravuje výrazy s kombinačními čísly
•	řeší rovnice s faktoriály a kombinačními čísly
•	řeší příklady pomocí binomické věty
•	zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému,rozliší správný a nesprávný úsudek
•	využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti
•	při řešení úloh efektivně využívá pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů
•	diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a 
•	a daná statistická sdělení
•	volí a užívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat /využívá výpočetní techniku /
•	reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a grafy, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám	KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, 
STATISTIKA

kombinatorika
•	základní kombinatorická pravidla,elementární kombinatorické úlohy
•	variace, permutace, kombinace bez opakování
•	pojem faktoriál, binomická věta, Pascalův trojúhelník
•	výrazy a rovnice s faktoriály a kombinačními čísly
•	pravděpodobnost
•	náhodné pokusy, množina všech možných výsledků, náhodný jev a jeho pravděpodobnost, pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů, nezávislé jevy

práce s daty
•	analýza a zpracování dat v různých        reprezentacích, statistický soubor a jeho charakteristiky 
•	absolutní a relativní četnost, rozdělení četností, grafické znázornění
•	vážený aritmetický průměr, medián, modus, percentil, kvartil, směrodatná odchylka, mezikvartilová odchylka	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Morálka všedního dne

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Spolupráce a soutěž

PT: Mediální výchova
TO: Mediální produkty a jejich významy

MPV  IVT

Formou spolupráce ve skupinách zpracování a vyhodnocení konkrétního statistického souboru.

	

•	vysvětlí rozdíl mezi posloupností a funkcí reálných
•	čísel
•	formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných
•	posloupností
•	řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o
•	posloupnostech
•	interpretuje z funkčního hlediska složené
•	úrokování, aplikuje exponenciální funkci
•	a geometrickou posloupnost ve finanční
•	matematice
•	vysvětlí pojem limita posloupnosti, zná základní
•	věty o limitách posloupností a umí je využít při
•	výpočtu limit posloupností
•	vysvětlí pojmy nekonečná řada a součet
•	nekonečné řady; pomocí základních kritérií
•	konvergence určí chování jednodušších řad; pro
•	nekonečnou geometrickou řadu zná podmínku její
•	konvergence a umí určit její součet	POSLOUPNOSTI A ŘADY

•	definice a určení posloupností (vzorcem                 pro n-tý člen a
•	rekurentně)
•	vlastnosti posloupností
•	aritmetická a geometrická posloupnost
•	finanční matematika
•	limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost
•	nekonečná řada, konvergentní a divergentní řada, kritéria
•	konvergence
•	nekonečná geometrická řada a její součet

MPV  základy finanční gramotnosti	

Využití poznatků o posloupnostech ve slovních úlohách , které vycházejí z běžné praxe/ termínované vklady, prognózy/.	

MATEMATIKA: VIII/8 + IV/4

•	řeší analyticky úlohy v pravoúhlé soustavě souřadnic
•	řeší úlohy o vektorech v rovině / provádí operace s vektory /
•	řeší analyticky polohové a metrické úlohy o přímce
•	využívá charakteristické vlastnosti kuželoseček k určení analytického vyjádření
•	z analytického vyjádření / z osové nebo vrcholové rovnice /určí základní údaje o kuželosečce
•	řeší analyticky úlohy na vzájemnou polohu přímky a kuželosečky
•	při analytickém řešení úloh aplikuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav
•	zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému

	
ANALYTICKÁ GEOMETRIE

•	soustava souřadnic v rovině, vzdálenost bodů, střed úsečky 
•	orientovaná úsečka, vektor, souřadnice vektoru, velikost vektoru
•	operace s vektory /sčítání vektorů,
•	skalární součin vektorů /
•	analytická vyjádření přímky v rovině /geometrický význam koeficientů /
•	řešení úloh v rovině /vzájemná poloha 
•	přímek v rovině, odchylka přímek, vzdálenost bodu od přímky /
•	analytická vyjádření kuželoseček
•	kružnice
•	elipsa
•	parabola
•	hyperbola	

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Seberegulace, organizační        dovednosti, efektivní řešení problémů  

MPV  F: operace s vektory	

	

•	vysvětlí souvislost komplexních a reálných čísel
•	ovládá operace s komplexními čísly
•	v algebraickém a goniometrickém tvaru, při řešení
•	úloh umí využít rovnosti komplexních čísel
•	vysvětlí vzájemné přiřazení komplexních čísel a
•	bodů Gaussovy roviny, geometrický význam
•	absolutní hodnoty a argumentu komplexního čísla,
•	umí graficky sčítat, odčítat, násobit a dělit
•	komplexní čísla
•	řeší kvadratické, binomické a jednoduché
•	algebraické rovnice v oboru komplexních čísel	Komplexní čísla

•	zavedení komplexního čísla jako uspořádané dvojice
•	reálných čísel
•	algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla
•	komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota a argument
•	Gaussova rovina
•	sčítání, odčítání, násobení a dělení komplexních čísel
•	v algebraickém a goniometrickém tvaru, Moivreova věta
•	binomická rovnice, komplexní n-tá odmocnina
•	 kvadratická rovnice s reálnými a komplexními koeficienty
•	algebraická rovnice, základní věta algebry

PT: Osobnostní a sociální výchova
TO: Seberegulace, organizační        dovednosti, efektivní řešení problémů